Robert s-a născut în 9 iunie 1983, în Câmpulung Muscel, și a venit în Baia Mare pe când era încă junior. De atunci, cu excepția a trei sezoane în care a evoluat pentru Unirea Dej, Phoenix Șimleu Silvaniei și VCM Piatra Neamț, a jucat doar pentru Știința Explorări, de unde a ajuns și la echipa națională. Robert Țuțea a fost și căpitan de echipă, contribuind la toate succesele clubului în perioada în care a purtat tricoul Științei Explorări.
Robert Țuțea nu va mai juca din sezonul următor pentru Știința Explorări, anunț făcut de conducerea clubului băimărean pe site-ul oficial al clubului.
